第八章 机械能守恒定律
课程标准的要求
2.1.1 理解功和功率。了解生产生活中常见机械的功率大小及其意义。
2.1.2 理解动能和动能定理。能用动能定理解释生产生活中的现象。
2.1.3 理解重力势能，知道重力势能的变化与重力做功的关系。定性了解弹性势能。
2.1.4 通过实验，验证机械能守恒定律。理解机械能守恒定律，体会守恒观念对认识物理规律的重要性。能用机械能守恒定律分析生产生活中的有关问题。
本章教材概述
本章是必修力学部分的最后一章，讲述功和能的概念，以及动能定理和机械能守恒定律。这一章可视为牛顿力学的进一步展开，在牛顿运动定律的基础上，通过引入功和能的概念，得出有关机械能的规律，特别是机械能守恒定律，使学生对自然的认识更加深入，为解决力学问题开辟了新的途径。因此，这一章是力学部分的重点章。
相对于 2014 年版高中物理教材，新教材在内容编排上做了一些调整。
2014 年版教材将“追寻守恒量”放到了具体的概念如重力势能、弹性势能、动能之前，即从追寻守恒量出发引出能量概念，把守恒思想的渗透贯穿于能量学习的全过程。通过调查发现，这种写法尽管立意很高，得到了一些教师的认同，但也有很多教师由于课时等原困，并没有单独安排这节课的教学，因此并没有达成预期的效果。从方便教师开展教学的角度，新教材没有把“追寻守恒量”单独编为一节，而是放在第四节“机械能守恒定律”中。
学生在初中已经对功和功率有了初步了解，知道力和物体运动方向相同时功的计算。高中阶段把功的概念扩展到力与运动方向有一定角度的情况，并引入正功、负功的概念。考虑到初、高中阶段知识的延续性，新教材没有用过多的篇幅回顾初中知识，把功和功率合编为一节。
2017 年版课程标准删去了“通过实验，探究恒力做功与物体动能变化的关系”这一内容。教材也进行了相应的调整，删去了原来的第六节“实验：探究功与速度变化的关系”。另外，根据课程标准的安排，把普遍的能量守恒定律及能量转化和转移的方向性问题放在后续的模块，等学生了解了更多能量形式后再进一步学习。
教材编写时还有以下考虑。
1．为学生能量观的发展打好基础
课程标准指出，能量观是物理观念的要素之一。能量观的核心内容是：自然界中一切物质都具有能量；能量有多种形式，能够从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体；在能量转化和转移的过程中，各种形式能量的总量保持不变。能量守恒定律是自然界最基本的规律和最普遍的法则，支配着迄今我们知道的一切自然现象——从原子核反应到石块的下落以至宇宙的演化，为我们看待自然现象提供了统一的观点。
本章是高中学生建立能量观念的第一章。学生在初中阶段已经初步、定性地接触了动能、势能、电能等概念。在高中阶段，他们将进一步从定量的角度学习并发展这些概念，并且逐步深入地理解能量守恒定律。学好本章，将为后续的学习打下坚实的基础。
能量概念是在人们追寻“守恒量”的过程中发展起来的。能量概念之所以重要，就是因为它是一个“守恒量”。近代物理学的发展更是伴随着对守恒量的追求。基于这一认识，教材在讲机械能守恒定律之前，先通过提出伽利略斜面实验背后隐含的问题，引导学生思考：在小球的运动过程中，有哪些物理量是变化的？哪些是不变的？你能找出不变的量吗？然后进一步通过“追寻守恒量”这个小标题的叙述，让学生体会守恒关系是自然界中客观存在着的一种十分重要的关系，而能量概念的引入是科学前辈们追寻守恒量的一个重要事例。在上述认识的基础上再学习机械能守恒定律，逐步学会从能量的观点和守恒的观点来分析力学问题，有利于学生把关于机械能的具体知识进行提升，帮助他们逐步形成能量观。
2．注重功能关系的梳理
功能关系指做功的过程是能量转化的过程，做了多少功，就有多少能量发生转化。知道了功和能的这种关系，就可以通过做功的多少，定量地研究能量及其相互转化。逐步深入地理觯功和能的概念以及功能关系，是学习本章的基本线索。
在本章章首语中就指出：“能量的转化与功的概念紧密相连。”在第二节，通过研究物体沿不同路径运动时重力做功的特点，定义“mgh”为重力势能。第三节，通过研究恒力做功与物体速度变化之间的关系，发现 mv2 这个量在过程终了与过程开始时的差正好等于力对物体做的功，从而定义了动能。在机械能守恒定律的建立过程中，同样也是从研究力做功的情况切入的。
学生如果能够结合具体问题逐步理解这一线索，不但有助于把这一章的知识融会贯通，而且有助于今后从能量的观点学习其他部分的知识。
3．重视渗透方法教育
通过对瞬时速度概念、匀变速直线运动位移公式的学习，学生已经初步了解了极限方法。本章在功和能的情境下进一步应用极限方法。
功的一般公式、动能定理、机械能守恒定律都是在恒力和直线运动的情况下推导出来的。考虑到动能定理和机械能守恒定律的应用并不限于恒力和直线运动，所以教材在叙述中有意识地作了扩展。例如，讲功的计算时，介绍了计算变力做功的思路。讲解动能定理时，指出不论外力是否为恒力，也不论物体是否做直线运动，动能定理都成立。讲功率的计算时，指出计算平均功率的公式P = Fv 同样适用于瞬时功率。讲解重力势能时，分析了重力做功与路径无关的问题。由此可知，从直线运动推导出来的重力势能的变化与重力做功的关系，对曲线运动的情形同样适用。在以上教学过程中，都涉及了极限方法的应用。
演绎推理是科学研究中的重要方法之一，也是学生最广泛进行的学习活动。演绎推理是从一般性结论推出个别性结论的方法，即从已知的某些一般原理、定理、法则、公理或科学概念出发，通过逻辑推理（包括数学推导）得出结论的一种思维活动。学生通过力学部分的学习，对此已经有了较多的体验，有可能也有必要进行一定的小结。因此，教材在第三节“动能和动能定理”结束时，专门安排了科学方法栏目，结合动能定理的推导过程介绍了演绎推理方法。
课时安排建议
1．功与功率 2 课时
2．重力势能 1 课时
3．动能和动能定理 2 课时
4．机械能守恒定律 2 课时
5．实验：验证机械能守恒定律 1 课时
第 1 节 功与功率 教学建议
1．教学目标
（1）理解功的概念，掌握功的计算式。
（2）知道功是标量，理解正功、负功的含义。知道几个力对物体所做的总功，是各个力分别对物体做功的代数和。
（3）理解功率的概念，会运用极限思想得到瞬时功率表达式P = Fv。关注生产生活中常见机械做功、功率大小及其意义。
（4）能分析汽车发动机功率一定时，牵引力与速度之间的关系，并能分析、解释实际生活中的现象。
2．教材分析与教学建议
功和功率是建立功能关系的重要概念。功是为进一步提出“能”这个更为广泛、更为重要的概念服务的。做功过程反映了能量的变化过程。只有准确理解“功”才能更好地促进能量概念的建构。
教材在初中知识的基础上，以节前“问题”引出：当位移的方向与力的方向不一致时，应当如何计算功？接着讨论正功和负功的概念。在功的概念的基础上进一步讨论做功的快慢，引出功率的概念。最后，通过分析汽车发动机功率一定时牵引力与速度之间的关系，联系生活实际，加深对功率概念的理解。
本节教学的重点与难点为理解功的概念、正功与负功的意义、瞬时功率的概念。主要原因有以下几个方面：①学生对力、位移矢量的分解还不够熟悉；②学生对标量、矢量的认识不到位导致不能很好地理解功是标量；③从平均功率过渡到瞬时功率对极限思想的应用要求较高；④汽车发动机功率、牵引力、速度三者关系的分析比较复杂。因此教师应在教材内容的基础上，针对难点的突破进行教学设计。可以从以下几个问题展开教学。
（1）问题引入
教材采用由特殊到一般的思路，先分析力与位移同方向时做功的情况，再逐步深入力与位移成一角度时做功的情况，最后通过矢量分解推导功的表达式。结合教材中的问题引入，可以让学生回忆和复习初中已学过的功的概念，让学生举例说明什么是做功过程。例如，学生会提出起重机在向上提升重物时对物体做功了，汽车在平直公路上前进时发动机的牵引力对汽车做功了，等等。然后，进一步分析起重机提着重物静止不动时拉力对货物是否做功，汽车在平直公路上前进时地面对汽车的支持力是否做功等。通过讨论，使学生明确做功的两个不可或缺的因素，即力和物体在力的方向上的位移。进而归纳得出：力和位移在同一方向时功的计算公式为 W = Fl。如果力与位移的夹角是 90°，则该力对物体不做功。在此基础上进一步研究力与位移成一定角度时功的计算。
（2）功的概念的建立
教师可以在节前“问题”的基础上，通过对矢量相关知识的回顾，提升对矢量概念的理解。为得出功的计算式构建一个良好的知识结构，并为分析功的标量性打下基础。这样的教学设计有利于学生物理观念的形成。
教学片段
推导功的一般表达式
当力的方向与物体的位移方向相同时，力对物体做的功为力的大小与物体位移大小的乘积。那么，物体的位移方向与力的方向不一致时，应当怎样计算功呢？
让学生就此问题展开讨论，提出解决的思路和方法。经过讨论，学生可能会采用教材给出的方法得出功的表达式：W = Flcosα（图 8–1）。对于基础较好的学生，在教学中应活跃和开阔他们的思路。位移 l 是矢量，也可以分解（图 8–2），即可以把位移分解成平行于力，和垂直于力 F 的两个分位移 l1 lsinα、l2 = lcosα，利用已有的知识同样可以得出 W = Flcosα。得出功的表达式之后，仍应引导学生进行讨论，使学生理解什么情况下力 F 做的功最大，什么情况下力 F 不做功。这样能与前面所说的做功的两个因素相呼应，又可以将特殊情况下的结论纳入一般情况下的结论，帮助学生构建一个良好的知识结构。
图 8–1
图 8–2
Flcosα 只适用于大小和方向都不变的恒力做功。对学有余力的学生，可以通过举一个变力做功的实例来说明，如弹簧弹力做功。一则作为问题激发学生的思维，二则为后续内容的学习埋下伏笔。
（3）正功和负功
由于 cosα 可正可负，从功的计算式可以看出，功 W 可正可负。教学中可结合功和能的联系进行说明。学生在初中已经认识到，做功的过程就是能量转化的过程，在此基础上可以建构负功的概念。
首先说明引入负功的必要性，让学生体会力做负功的含义。例如：一物体在相同的水平拉力作用下分别在光滑和粗糙的水平面上加速运动，如果运动相同的距离，物体速度的变化量相同吗？动能的变化量相同吗？拉力做的功相同吗？学生可以用之前学过的牛顿运动定律顺利解决。物体所受合力不同，加速度不同，得出速度的变化量不同，动能的变化量不同。隐含的问题在于：既然拉力做的功一样，为什么动能的变化量不一样呢？通过激发学生的认知冲突，引发对做功的深入思考。这样处理，会使学生隐约感到此时摩擦力做了“相反”的功。在前面分析说明的基础上，可让学生讨论正功与负功对物体动能产生的影响，引导从能量转化的角度认识其意义。然后从力和运动的角度看，摩擦力为阻力，有阻碍物体运动的作用。摩擦力对物体做负功。
由于力和位移都是矢量，因此学生对于“功不是矢量，没有方向”的认识是难点。可参考以下教学片段。
教学片段
功是标量
如图 8–3 所示，在光滑水平面上，物体受两个互相垂直的大小分别为 F1 = 3 N 和 F2 = 4 N 的恒力，从静止开始运动，位移 l = 10 m，求每个力做的功和合力做的功。
图 8–3
根据力的平行四边形定则，合力 F合 = \(\sqrt {F_1^2 + F_2^2} \) = 5 N，合力方向即物体的运动方向，可从得出位移的方向与 F1 的夹角为 53°，与 F2 的夹角为 37°
所以 W1 = F1lcos53° = 18 J
W2 = F2lcos37° = 32 J
W合 = F合lcos0° = 50 J
通过上述分析可知，W合 = W1 + W2 ≠ \(\sqrt {W_1^2 + W_2^2} \)，由此可以看出，功的运算不符合平行四边形定则，符合标量的计算法则。故功为标量。
（4）功率
功率是反映做功快慢的物理量。学生在初中已经学过功率的概念。教材限于篇幅采用“从开始计时到时刻 t”的处理方法，得出功率的概念。教学时，可采用与前面速度、加速度等概念相似的处理方式。让学生体验用比值定义功率的过程与思维方法，得出 P = \(\frac{W}{t}\)，进而体会到凡是描述快慢的物理量，都可以采用类似的方式进行。还可以让学生完成其他的活动，如观察自己身边事物，通过研究性课题测定人上楼梯、跳绳等活动时的平均功率等。
在得出 P = \(\frac{W}{t}\) 的基础上进一步讨论，功率的表达式 P = Fvcosα。若力的方向与速度方向相同，则 P = Fv。这里的功率是指从计时开始时刻到时刻 t 的平均功率。如果时间间隔取得非常非常小，上述速度就可以看作瞬时速度。这个关系式也就可以反映瞬时速度与瞬时功率的关系。从平均功率过渡到瞬时功率过程中体现的极限思想要逐步渗透，让学生加深对这一思维过程的理解。
教学片段 3
推导 P = Fvcosα
如果物体受到的力为 F，从开始计时到时刻 t 这段时间内发生的位移是 l，力 F 的方向与位移的方向的夹角为 α，则在这段时间内力做功的功率 P = \(\frac{W}{t}\) = \(\frac{{Fl\cos \alpha }}{t}\) = Fvcosα。若力的方向与速度方向相同，则 P = Fv。这里的功率是指从计时开始到时刻 t 这段时间内的平均功率。
如果时间间隔取得非常非常小，上述速度就可以看作瞬时速度。这个关系式也就可以反映瞬时速度与瞬时功率的关系。针对推导公式过程中所涉及的极限思想在讲瞬时速度时已有所渗透，教师应启发学生回忆瞬时速度的定义方法，让学生自行将瞬时速度的定义方法迁移到瞬时功率的定义中来，以增加对瞬时功率的理解。
汽车发动机的额定功率、牵引力与速度之间关系的分析是难点，但围绕汽车启动的两种情况进行讨论意义不大。一是启动方式不符合实际情况，二是为了减轻学生的学习负担。对于 P = Fv 的理解，教师可组织学生通过讨论、交流，正确理解公式中三个物理量之间的关系，并进一步分析汽车上坡时为什么要换挡减速行驶。
3．“练习与应用”参考答案与提示
本节共 7 道习题，要求学生能理解功和功率的概念，能运用 W = Flcosα 计算功的大小，能运用 P = \(\dfrac{W}{t}\) 和 P = Fv 进行有关计算。前 3 题通过具体情境让学生知道 W = Flcosα 中各个物理量的含义，练习用 W = Flcosα 计算功。第 4 题是让学生知道处理数学问题与物理问题的区别。第 5 题练习用 P = Fv 进行简单的计算。第 6 题练习用 P = \(\frac{W}{t}\) 求功率和用 W = Pt 计算功。第 7 题定性分析生活实例，将 P、F、v 之间的对应关系应用于动态分析，培养学生的物理思维。
1．图甲中，W = Flcos（180° − 150°）= 10×2×\(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\) J = 1732 J。图乙中，W = Flcos（180° − 30°）= − 10×2×\(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\) J = − 17.32 J。图丙中，W = Flcos30° = 10×2×\(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\) J = 17.32 J。
提示：以物体在水平面上运动为情景，用功的定义式计算物体水平运动时三种情况下力 F 做的功，着力区别图中的 θ 和公式中的 α 及的区别，虽然受力情况不同，但力 F 做功的绝对值却一样，加深对功的概念的理解，学习计算功的基本方法。
2．1×105 J；− 1×105 J；0
提示：重物被匀速提升时，合力为 0，故 F = G = 2×104 N。钢绳拉力所做的功 W1 = Flcos0° = 2×104×5 J = 1×105 J。重力做的功 W2 = Glcos180° = − 2×104×5 J = − 1×105 J。物体克服重力所做的功为 1×105 J，这些力做的总功为 0。
本题练习用功的定义式求每个力的功，用每个力的功之和求总功。通过计算，进一步理解正功、负功、总功的物理意义。
3．重力做功 6.0×103 J；支持力做功 0 J；阻力做功 − 1.0×103 J；总功为 5.0×103 J
提示：如图 8–4所示，滑雪运动员受到重力、支持力和阻力的作用，运动员的位移 l = \(\dfrac{h}{{\sin 30^\circ }}\) = 20 m，方向沿斜坡向下。所以，重力做功 WG = mglcos60° = 60×10×20×\(\dfrac{1}{2}\) J = 6.0×103 J。支持力所做的功 WN = FNlcos90° = 0。阻力所做的功 Wf = Flcos180° = − 50×20 J = − 1.0×103 J。
图 8–4
这些力所做的总功 W总 = WG + WN + Wf = 5.0×103 J。
提示：以物体在斜面上加速运动为情景，通过计算各个力做的功、合力的功，在题 1、题 2 的基础上，使学生认识到一个力对物体做的功与物体的运动状态、是否有其他的力对物体做功无关。通过求合力的功，为后面学习动能定理奠定基础。
4．此人推导的前提不明确。
根据 P = Fv，若 F 增大，则 P 增大的前提是 v 不变。
根据 v = \(\dfrac{P}{F}\)，若 P 增大，则 v 增大的前提是 F 不变。
根据 F = Pv，若 v 增大，则 F 减小的前提是 P 不变。
提示：通过讨论 P = Fv 中三个量之间的关系，加深对物理量之间关系的理解，让学生明确在应用物理规律分析解决问题时要注意物理量之间的相互制约关系。
5．3.7×10−2 m/s
提示：在货物匀速上升时，F = G = 2.7×105 N。由 P = Fv 可碍 v = \(\dfrac{P}{F}\) = \(\dfrac{{10 \times {{10}^3}}}{{2.7 \times {{10}^5}}}\) m/s = 3.7×10−2 m/s
6．3×103 W；5.4×106 J
提示：这台抽水机的输出功率 P = \(\dfrac{W}{t}\) = \(\dfrac{mgh}{t}\) = \(\dfrac{{30 \times 10 \times 10}}{1}\) W = 3×103 W，它半小时能做功 W = Pt = 3×103×1 800 J = 5.4×106 J。
本题以抽水机抽水为情景，通过由功求功率、由功率求功，加深学生对功和功率的认识，形成正确的物理观念。
7．（1）汽车的加速度减小，速度增大。因 P = F牵v，v 增大，故 F牵 减小，而 a = \(\dfrac{{{F_牵} - F}}{m}\)，所以加速度减小。
（2）当汽车的速度为 v、加速度为 a 时，汽车的牵引力 F牵 = ma + F。发动机的额定功率 P = F牵v =（ma + F）v。当加速度减小到 0 时，汽车做匀速直线运动，F牵 = F。所以汽车行驶的最大速度 vmax = \(\dfrac{P}{F}\) = \(\dfrac{{(ma + F)v}}{F}\)。
提示：通过讨论汽车以恒定功率启动直至最后做匀速运动的过程中，速度和加速度的变化，使学生能综合运用所学的物理知识分析解决实际问题，知道物理规律之间的相互关系。